Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0）．
（1）求此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及最值；
（2）求證：對(duì)于任意正整數(shù)n，均有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$≥ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分類討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的極值．
（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$≥0，即 $\frac{1}{x}$≥1-lnx=ln$\frac{e}{x}$，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的結(jié)論．

解答 解：（1）由題意可得 f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，求得x=a，
由ax＞0，求得x＞0，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
此時(shí)函數(shù)在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的極小值為f（a）=lna²，無最大值．
當(dāng)a＜0時(shí)，由ax＞0，求得x＜0，可得函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?∞，0），
此時(shí)函數(shù)（-∞，a）上，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$＜0，f（x）是減函數(shù)；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的極小值為f（a）=lna²，無最大值．
（2）證明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$≥f（1）=0，∴$\frac{1}{x}$≥1-lnx=ln$\frac{e}{x}$，
取x=1，2，3…，n，則 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$≥ln$\frac{e}{1}$+ln$\frac{e}{2}$+ln$\frac{e}{3}$+…+ln$\frac{e}{n}$=ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$，
故要征得不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$≥ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$ 成立．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值，屬于難題．