Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在區(qū)間[2，3]上的最大值為4，最小值為1．
（1）求a，b的值；
（2）設(shè) ，若關(guān)于x的方程 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=a（x﹣1）2+1+b﹣a．∵a＞0，所以f（x）在[2，3]上為增函數(shù)，

故 ，即

解得a=1，b=0．

（2）解：g（x）= =x+ ，∴g（|2x﹣1|）=|2x﹣1|+ ﹣2．

∵ ，∴ ，

即|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）=0，|2x﹣1|≠0．

令|2x﹣1|=t，則方程可化為t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0（t＞0），

由方程 在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

結(jié)合t=|2x﹣1|的圖象（如右圖）可知，

方程t2﹣（2+3k）t+（1+2k）=0有兩個(gè)根t1，t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2=1．

記h（t）=t2﹣（2+3k）t+（1+2k），則 或 ．

解得k＞0．

【解析】（1）根據(jù)f（x）的開口方向和對(duì)稱軸可知f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，根據(jù)最值列出方程組解出a，b；（2）令|2x﹣1|=t，得到關(guān)于t的二次函數(shù)h（t），結(jié)合t=|2x﹣1|的函數(shù)圖象可判斷h（t）的零點(diǎn)分布情況，列出不等式組解出k的范圍．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)，掌握當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．