Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

+alnx-2（a＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對(duì)于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立，試求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）a=1時(shí)求出f（x），并求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即能求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)求出f（x）在（0，+∞）上的最小值，讓最小值大于2（a-1），得到關(guān)于a的不等式，解該不等式，從而求出a的取值范圍即可．

解答： 解：（I）a=1時(shí)，f（x）=

2

x

+lnx-2，f′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

；
∴x＞2時(shí)，f′（x）＞0，x＜2時(shí)，f′（x）＜0；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（-∞，2）；
（II）f′（x）=

ax-2

x2

，a＞0；
∴x＞

2

a

時(shí)，f′（x）＞0，0＜x＜

2

a

時(shí)，f′（x）＜0；
所以x=

2

a

時(shí)，f（x）取最小值f（

2

a

）=a+aln

2

a

-2；
因?yàn)閷?duì)于?x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a-1）成立；
∴a+aln

2

a

-2＞2(a-1)；
∴aln

2

a

＞a；
∴ln

2

a

＞1，

2

a

＞e；
∴0＜a＜

2

e

；
∴a的取值范圍為（0，

2

a

）．

點(diǎn)評(píng)：考查通過(guò)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)求函數(shù)的最小值的方法，注意正確求導(dǎo)．