Question

9．已知函數(shù)f（x）=2sinx（sinx+cosx）．
（I）求f（x）的最小正周期及對稱中心坐標(biāo)；
（II）求f（x）定義在$[0，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （I）利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)，化簡函數(shù)的解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求f（x）的最小正周期及對稱中心坐標(biāo)；
（II）求出相位的范圍，利用正弦函數(shù)的有界性求解函數(shù)最值的即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（I）f（x）=2sinx（sinx+cosx）=2sin²x+2sinxcosx=$sin2x-cos2x+1=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$，…（2分）
則f（x）的最小正周期T=π，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}sin（2x-\frac{π}{4}）=0\\ y=1\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}2x-\frac{π}{4}=kπ\(zhòng)\ y=1\end{array}\right.$（k∈Z），
即$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}\\ y=1\end{array}\right.$（k∈Z），f（x）的對稱中心坐標(biāo)為$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}，1）$（k∈Z）；…（7分）
（II）當(dāng)$x∈[0，\frac{π}{2}]$時(shí)，$-\frac{π}{4}≤2x-\frac{π}{4}≤\frac{3π}{4}$，
則$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}≤sin（2x-\frac{π}{4}）≤1$，…（9分）
所以$-1≤\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）≤\sqrt{2}$，
則$0≤\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1≤\sqrt{2}+1$，
所以f（x）定義在[0，π]上的值域?yàn)?[0，\sqrt{2}+1]$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的化簡求值，兩角和與差的三角函數(shù)以及函數(shù)的周期，對稱性，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．