Question

19．已知函數(shù)f（x）=x²e^-ax-1（a是常數(shù)），
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，16）時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過當(dāng)a=0時(shí)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)a≠0時(shí)，求出f'（x），構(gòu)造函數(shù)令g（x）=-ax²+2x=0，解得x=0或$x=\frac{2}{a}$，①當(dāng)a＞0時(shí)，判斷g（x）＜0，得到函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減；函數(shù)g（x）=-ax²+2x在$[{0，\frac{2}{a}}]$上有g(shù)（x）≥0，即f'（x）≥0，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增；②當(dāng)a＜0時(shí)，利用函數(shù)g（x）的符號(hào)，推出f'（x）＞0，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，遞減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈（0，16）時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，利用函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的最值，列出不等式組求解a的范圍．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）根據(jù)題意可得，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²-1，
函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)遞增的，在（-∞，0）上是單調(diào)遞減的…（1分）
當(dāng)a≠0時(shí)，f'（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x），因?yàn)閑^-ax＞0，
令g（x）=-ax²+2x=0，解得x=0或$x=\frac{2}{a}$…（3分）
①當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)g（x）=-ax²+2x在（-∞，0），$（{\frac{2}{a}，+∞}）$上有g(shù)（x）＜0，
即f'（x）＜0，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減；函數(shù)g（x）=-ax²+2x在$[{0，\frac{2}{a}}]$上有g(shù)（x）≥0，
即f'（x）≥0，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增；…（4分）
②當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)g（x）=-ax²+2x在$（{-∞，\frac{2}{a}}）$，（0，+∞）上有g(shù)（x）＞0，
即f'（x）＞0，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞增；
函數(shù)g（x）=-ax²+2x在$[{\frac{2}{a}，0}]$上有g(shù)（x）≤0，即f'（x）≤0，函數(shù)y=f（x）單調(diào)遞減；…（5分）
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（0，+∞），遞減區(qū)間為（-∞，0）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，0），$（{\frac{2}{a}，+∞}）$，遞增區(qū)間為$[{0，\frac{2}{a}}]$；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為$（{-∞，\frac{2}{a}}）$，（0，+∞），遞減區(qū)間為$[{\frac{2}{a}，0}]$；…（6分）
（2）當(dāng)x∈（0，16）時(shí)，函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)f（x）在（0，16）內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)；
而-ax²+2x=0的兩個(gè)零點(diǎn)為x=0，$x=\frac{2}{a}$，所以$\frac{2}{a}∈（{0，16}）$，解得$a＞\frac{1}{8}$①；…（8分）
又由（1）可知：$x∈（{0，\frac{2}{a}}）$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
$x∈（{\frac{2}{a}，16}）$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
∴在（0，16）上${f_{max}}（x）=f（{\frac{2}{a}}）=\frac{4}{a^2}{e^{-2}}-1$；
令$\frac{4}{a^2}{e^{-2}}-1＞0$，解得$-\frac{2}{e}＜a＜\frac{2}{e}$②；…（10分）
又$\left\{\begin{array}{l}f（0）＜0\\ f（{16}）＜0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-1＜0\\ 256{e^{-16a}}-1＜0\end{array}\right.$，解得$a＞\frac{1}{2}ln2$③；…（11分）
由①②③組成不等式組，解得$\frac{1}{2}ln2＜a＜\frac{2}{e}$；
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{2}ln2＜a＜\frac{2}{e}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，構(gòu)造法的應(yīng)用，二次求導(dǎo)，考查分析問題解決問題的能力，難度比較大．