Question

已知(1+2

x

)n的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)恰好是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，是它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

倍，求該展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：先求出(1+2

x

)n的展開式的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)某一項(xiàng)的系數(shù)恰好是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，是它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

倍，建立方程組，解之即可求出n的值，從而求出展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：Tr+1=

C

r n

(2

x

)r=

C

r n

2rx

r

2

由題意知：

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

解得：

n=7 r=4

…8分
∴二項(xiàng)式系數(shù)最大值為T₅=C₇⁴2⁴x²=560x²…2分T4=

C

3 7

23x

3

2

=280x

3

2

…2分

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，以及二項(xiàng)展開式的系數(shù)最大的項(xiàng)的求法，屬于中檔題．