Question

已知(1+2

x

)n的展開(kāi)式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而又等于它后一項(xiàng)系數(shù)的

5

6

．
（1）求展開(kāi)后所有項(xiàng)的系數(shù)之和及所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（2）求展開(kāi)式中的有理項(xiàng)．

Answer 1

分析：利用展開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)，由已知，求出n，
（1）令x=1，得展開(kāi)后所有項(xiàng)的系數(shù)之和
（2）令展開(kāi)式中x的指數(shù)為整數(shù)，求出有理項(xiàng)．

解答：解：(1+2

x

)n的展開(kāi)式的通項(xiàng)Tr+1=

2rC

r n

x

r

2

，由已知，得出

2rC r n =2• 2r-1C r-1 n   ① 2rC r n = 5 6 2r+1C r+1 n  ②

  化簡(jiǎn)

C r n = C r-1 n   ① C r n = 5 3 C r+1 n  ②

，

r+(r-1)=n n-r r+1 = 3 5

解得

r=4 n=7

（1）在展開(kāi)式兩端令x=1，得展開(kāi)后所有項(xiàng)的系數(shù)之和 為3⁷=2187．
所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和 2⁷=128．
（2）當(dāng)

r

2

為整數(shù)時(shí)，項(xiàng)為有理項(xiàng)．所以r=0，2，4，6．
有理項(xiàng)分別為 1，2²C₇²x=84x，2⁴C₇⁴x²=560x²，2⁶C₇⁶x³=448x³．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求項(xiàng)的系數(shù)、有理項(xiàng)．考查賦值、計(jì)算能力．本題需先求出n的值．