Question

已知(1+2

x

)n的展開(kāi)式中，某一項(xiàng)的系數(shù)是它前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而等于它后一項(xiàng)的系數(shù)的

5

6

．
（1）求該展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，第r項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)已知條件列出方程組，求出n的值，得到二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出它們的值．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，列出不等式組

C r n 2r=2• C r-1 n 2r-1 C r n = 5 6 C r+1 n •2r+1

，求出r的值，代入二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（1）第r+1項(xiàng)系數(shù)為C_n^r•2^r，第r項(xiàng)系數(shù)為C_n^r-1•2^r-1，第r+2項(xiàng)系數(shù)為C_n^r+1•2^r+1
依題意得到

C r n 2r=2• C r-1 n 2r-1 C r n = 5 6 C r+1 n •2r+1

，即

2r=n-1 5(n-r)=3(r-1)

，解得n=7，
所以二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)和第5項(xiàng)．
所以T4=

C

3 7

(2

x

)3=280x

5

2

，T5=

C

4 7

(2

x

)4=560x2．
（2）設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)最大，則

C r n 2r≥ C r-1 n 2r-1 C r n ≥ C r+1 n •2r+1

解得

13

3

≤r≤

16

3

又因?yàn)閞∈N，所以r=5
∴展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=

C

5 7

(2

x

)5=672 • x

5

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題，應(yīng)該利用的工具是二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題．