Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₂=2，S_n為其前n項和，且S_n=

an(n+1)

2

（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求證：a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（Ⅲ）判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a₂=2，S_n為其前n項和，且S_n=

an(n+1)

2

，即可求a₁的值；
（Ⅱ）通過 a_n=S_n-S_n-1，化簡即可證明：a_n=

n

n-1

a_n-1（n≥2）；
（Ⅲ）求出數(shù)列{a_n}的通項公式，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列．

解答： （共13分）
（Ⅰ）解：由題意知：S2=

3a2

2

，即a1+a2=

3a2

2

．
所以 a₂=2a₁．…（2分）
因為 a₂=2，
所以 a₁=1．…（3分）
（Ⅱ）證明：因為 Sn=

an(n+1)

2

(n=1，2，3，…)，
所以 Sn-1=

an-1(n-1+1)

2

（n≥2）．…（4分）
因為 a_n=S_n-S_n-1，…（6分）
所以 an=

(n+1)an-nan-1

2

，即（n-1）a_n=na_n-1．
因為 n≥2，
所以 an=

n

n-1

an-1．…（8分）
（Ⅲ）解：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
理由如下：…（9分）
由（Ⅱ）得：

an

n

=

an-1

n-1

(n=2，3，4，…)．
所以 

an

n

=a1=1(n≥2)，即a_n=n（n≥2）．…（11分）
由（Ⅰ）知：a₁=1，所以 a_n=n（n≥1）．
所以 數(shù)列{a_n}是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應用，等差數(shù)列的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．