Question

如圖,正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1,P為BC的中點,Q為線段CC₁上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是　　　　(寫出所有正確命題的編號).

①當0<CQ<時,S為四邊形.

②當CQ=時,S為等腰梯形.

③當CQ=時,S與C₁D₁的交點R滿足C₁R=.

④當<CQ<1時,S為六邊形.

⑤當CQ=1時,S的面積為.

Answer 1

①②③⑤【解析】①當0<CQ<時,截面如圖1所示,截面是四邊形APQM,故①正確.

②當CQ=時,截面如圖2所示,易知PQ∥AD₁且PQ=AD₁,S是等腰梯形,故②正確.

③當CQ=時,如圖3.

作BF∥PQ交CC₁的延長線于點F,則C₁F=.作AE∥BF,交DD₁的延長線于點E,D₁E=,AE∥PQ,連接EQ交C₁D₁于點R,由于Rt△RC₁Q∽Rt△RD₁E,所以C₁Q∶D₁E=C₁R∶RD₁=1∶2,所以C₁R=.

④當<CQ<1時,如圖3,連接RM(點M為AE與A₁D₁的交點),顯然S為五邊形APQRM.

⑤當CQ=1時,如圖4.

同③可作AE∥PQ交DD₁的延長線于點E,交A₁D₁于點M,顯然點M為A₁D₁的中點,所以S為菱形APQM,其面積為MP×AQ=××=.