Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log₂（2^x+t）為“倍縮函數(shù)”，則t的范圍為（0，$\frac{1}{4}$）．

Answer 1

分析 由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log₂（2^x+t）為“倍縮函數(shù)”，
且滿足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[$\frac{a}{2}$，$\frac{2}$]，
∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{2}^{a}+t）=\frac{a}{2}}\\{lo{g}_{2}（{2}^+t）=\frac{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{a}+t={2}^{\frac{a}{2}}}\\{{2}^+t={2}^{\frac{2}}}\end{array}\right.$，
∴方程${2}^{x}-{2}^{\frac{x}{2}}$+t=0有兩個不等的實根，且兩根都大于0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^{2}-4t＞0}\\{t＞0}\end{array}\right.$，
解得：0＜t＜$\frac{1}{4}$，
∴滿足條件t的范圍是（0，$\frac{1}{4}$）．
故答案為：（0，$\frac{1}{4}$）．

點評 本題考察了函數(shù)的值域問題，解題時構(gòu)造函數(shù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．