分析 由${T}_{r+1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}{a}^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=${{a}^{r}C}_{9}^{r}{x}^{\frac{18-3r}{2}}$,根據(jù)x6的系數(shù)為4,求出r=2,從而${a}^{2}{C}_{9}^{2}$=4,解得a=$\frac{1}{3}$,由此能求出$\underset{lim}{n→∞}$(a+a2+…+an)的值.
解答 解:∵常數(shù)a>0,(x+$\frac{a}{\sqrt{x}}$)9展開式中x6的系數(shù)為4,
∴${T}_{r+1}={C}_{9}^{r}{x}^{9-r}{a}^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=${{a}^{r}C}_{9}^{r}{x}^{\frac{18-3r}{2}}$,
當$\frac{18-3r}{2}=6$時,r=2,
∴${a}^{2}{C}_{9}^{2}$=4,解得a=$\frac{1}{3}$,
∴a+a2+…+an=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{{3}^{n}}$),
∴$\underset{lim}{n→∞}$(a+a2+…+an)=$\underset{lim}{n→∞}[\frac{1}{2}(1-\frac{1}{{3}^{n}})]$=$\frac{1}{2}$.
故答案為:$\frac{1}{2}$.
點評 本題考查數(shù)列的前n項和極限的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意二項式定理、極限性質的合理運用.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 5800 | B. | 6000 | C. | 6200 | D. | 6400 |
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