【題目】1)證明:;

2)證明:對任何正整數(shù)n,存在多項式函數(shù),使得對所有實數(shù)x均成立,其中均為整數(shù),當n為奇數(shù)時,,當n為偶數(shù)時,

3)利用(2)的結(jié)論判斷是否為有理數(shù)?

【答案】1)見解析;(2)見解析;(3)不是

【解析】

1,利用兩角和的正弦和二倍角公式,進行證明;(2)對分奇偶,即兩種情況,結(jié)合兩角和的余弦公式,積化和差公式,利用數(shù)學歸納法進行證明;(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,將表示出來,然后判斷其每一項都為無理數(shù),從而得到答案.

1

所以原式得證.

2為奇數(shù)時,

時,,其中,成立

時,

,其中,成立

時,

,其中,成立,

則當時,

所以得到

因為均為整數(shù),所以也均為整數(shù),

故原式成立;

為偶數(shù)時,

時,,其中,

時,

,

其中,成立,

時,

,

其中,成立,

則當時,

所以得到

其中,

因為均為整數(shù),所以也均為整數(shù),

故原式成立;

綜上可得:對任何正整數(shù),存在多項式函數(shù),使得對所有實數(shù)均成立,其中均為整數(shù),當為奇數(shù)時,,當為偶數(shù)時,

3)由(2)可得

其中均為有理數(shù),

因為為無理數(shù),所以均為無理數(shù),

為無理數(shù),

所以不是有理數(shù).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)時取得極值且有兩個零點.

(1)求的值與實數(shù)的取值范圍;

(2)記函數(shù)兩個相異零點,求證:.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】某超市計劃按月訂購一種酸奶,每天進貨量相同,進貨成本每瓶4元,售價每瓶6元,未售出的酸奶降價處理,以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗,每天需求量與當天最高氣溫(單位:℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計劃,統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:

最高

氣溫

[10,

15)

[15,

20)

[20,

25)

[25,

30)

[30,

35)

[35,

40)

天數(shù)

2

16

36

25

7

4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.

(1)求六月份這種酸奶一天的需求量X(單位:瓶)的分布列.

(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y(單位:元),當六月份這種酸奶一天的進貨量n(單位:瓶)為多少時,Y的數(shù)學期望達到最大值?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知在幾何體ABCDE中,AB⊥平面BCE,且BCE是正三角形,四邊形ABCD為正方形,F是線段CD上的中點,G是線段BE的中點,且AB=2

1)求證:GF∥平面ADE;

2)求三棱錐FBGC的表面積.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的離心率為,且過點.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)過橢圓的左焦點的直線與橢圓交于兩點,直線過坐標原點且與直線的斜率互為相反數(shù).若直線與橢圓交于兩點且均不與點重合,設(shè)直線軸所成的銳角為,直線軸所成的銳角為,判斷的大小關(guān)系并加以證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù)的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點,則的取值范圍是__________.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】2017年5月,“一帶一路”沿線的20國青年評選出了中國“新四大發(fā)明”:高鐵、支付寶、共享單車和網(wǎng)購.2017年末,“支付寶大行動”用發(fā)紅包的方法刺激支付寶的使用.某商家統(tǒng)計前5名顧客掃描紅包所得金額分別為5.5元,2.1元,3.3元,5.9元,4.7元,商家從這5名顧客中隨機抽取3人贈送臺歷.

(1)求獲得臺歷是三人中至少有一人的紅包超過5元的概率;

(2)統(tǒng)計一周內(nèi)每天使用支付寶付款的人數(shù)與商家每天的凈利潤元,得到7組數(shù)據(jù),如表所示,并作出了散點圖.

(i)直接根據(jù)散點圖判斷,哪一個適合作為每天的凈利潤的回歸方程類型.(的值取整數(shù))

(ii)根據(jù)(i)的判斷,建立關(guān)于的回歸方程,并估計使用支付寶付款的人數(shù)增加到35時,商家當天的凈利潤.

參考數(shù)據(jù):

22.86

194.29

268.86

3484.29

附:對于一組數(shù)據(jù),其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知圓經(jīng)過點,和直線相切,且圓心在直線上.

(1)求圓的方程;

(2)已知直線經(jīng)過原點,并且被圓截得的弦長為2,求直線的方程.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,三棱柱的側(cè)面是菱形,平面平面,直線與平面所成角為,,的中點.

(1)求證:

(2)求二面角的余弦值.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案