Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象如圖：將函數(shù)y=f（x）（x∈R）的圖象向左平移

π

4

個(gè)單位，得函數(shù)y=g（x）的圖象（g′（x）為g（x）的導(dǎo)函數(shù)），下面結(jié)論正確的是（　　）

• A．函數(shù)g（x）是奇函數(shù)
• B．函數(shù)g′（x）在區(qū)間（-

  π

  3

  ，0）上是減函數(shù)
• C．g（x）?g′（x）的最小值為-3
• D．函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

  π

  6

  ，0）對(duì)稱

Answer 1

分析：根據(jù)所給圖象求出f（x）的解析式，通過平移求出g（x），進(jìn)而求出g′（x），然后根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)檢驗(yàn)即可．

解答：解：由圖象知，A=1，函數(shù)f（x）的周期T=2（

7

12

π-

π

4

）=

2π

3

，
由

2π

3

=

2π

ω

，得ω=3，
由五點(diǎn)法作圖知：3×

π

4

+φ=

π

2

，解得φ=-

π

4

，
所以f（x）=sin（3x-

π

4

），
g（x）=f（x+

π

4

）=sin[3（x+

π

4

）-

π

4

]=sin（3x+

π

2

）=cos3x，
g′（x）=-3sin3x，
因?yàn)間（-x）=cos（-3x）=cos3x=g（x），所以g（x）為偶函數(shù)，排除A；
g′（x）=-3sin3x在（-

π

3

，0）上不單調(diào)，故排除B；
g（x）•g′（x）=cos3x•（-3sin3x）=-

3

2

sin6x，最小值為-

3

2

，故排除C；
由3x=kπ+

π

2

，得x=

kπ

3

+

π

6

，k∈Z，則g（x）=cos3x的對(duì)稱中心為（

kπ

3

+

π

6

，0）k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)，對(duì)稱中心為（

π

6

，0），
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖象變換，考查三角函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．