Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}$（φ為參數(shù)），曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線l：θ=α與C₁，C₂各有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)α=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2，當(dāng)α=$\frac{π}{2}$時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合．
（Ⅰ）分別說明C₁，C₂是什么曲線，并求a與b的值；
（Ⅱ）設(shè)當(dāng)α=$\frac{π}{4}$時(shí)，l與C₁，C₂的交點(diǎn)分別為A₁，B₁，當(dāng)α=-$\frac{π}{4}$時(shí)，l與C₁，C₂的交點(diǎn)分別為A₂，B₂，求直線A₁ A₂、B₁B₂的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，C₁是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，C₂是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．當(dāng)α=0時(shí)，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1，0），（a，0），當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí)，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（0，1），（0，b），由此能求出a，b．
（Ⅱ） C₁，C₂的普通方程分別為x²+y²=1和$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$，當(dāng)$α=\frac{π}{4}$時(shí)，射線l與C₁的交點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，與C₂的交點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為$x'=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$，當(dāng)$α=-\frac{π}{4}$時(shí)，射線l與C₁，C₂的交點(diǎn)A₂，分別與A₁，B₁關(guān)于x軸對稱，由此能求出直線A₁ A₂ 和B₁B₂的極坐標(biāo)方程．

解答 （本題滿分10分）【選修4-4  坐標(biāo)系統(tǒng)與參數(shù)方程】
解：（Ⅰ）∵曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=sinφ\end{array}$（φ為參數(shù)），
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=1，∴C₁是以（0，0）為圓心，以1為半徑的圓，
∵曲線C₂的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=acosφ\\ y=bsinφ\end{array}$（a＞b＞0，φ為參數(shù)），
∴曲線C₂的直角坐標(biāo)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，∴C₂是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓．
當(dāng)α=0時(shí)，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1，0），（a，0），
∵這兩點(diǎn)間的距離為2，∴a=3…（2分）
當(dāng)$α=\frac{π}{2}$時(shí)，射線l與C₁，C₂交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（0，1），（0，b），
∵這兩點(diǎn)重合，∴b=1…（5分）
（Ⅱ） C₁，C₂的普通方程分別為x²+y²=1和$\frac{x^2}{9}+{y^2}=1$…（6分）
當(dāng)$α=\frac{π}{4}$時(shí)，解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得A₁（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即射線l與C₁的交點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得B₁（$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，$\frac{3\sqrt{10}}{10}$），與C₂的交點(diǎn)B₁的橫坐標(biāo)為$x'=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$
當(dāng)$α=-\frac{π}{4}$時(shí)，射線l與C₁，C₂的交點(diǎn)A₂，分別與A₁，B₁關(guān)于x軸對稱
因此，直線A₁ A₂、B₁B₂垂直于極軸，
故直線A₁ A₂ 和B₁B₂的極坐標(biāo)方程分別為$ρcosθ=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，$ρcosθ=\frac{{3\sqrt{10}}}{10}$…（10分）

點(diǎn)評 本題考查圖形的判斷與實(shí)數(shù)值的求法，考查極坐標(biāo)方程的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意參數(shù)方程、直角坐標(biāo)方程、極坐標(biāo)方程間相互轉(zhuǎn)化公式的合理運(yùn)用．