Question

6．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． 已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ-3cosθ）=0，曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$  （t為參數(shù)），l與C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值．

Answer 1

分析 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ將直線l方程化成普通方程，曲線C消去參數(shù)t化成普通方程，l與C相交于A，B兩點(diǎn)，聯(lián)立方程組，求解A，B坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式求解|AB|即可．

解答 解：直線l的極坐標(biāo)方程為ρ（sinθ-3cosθ）=0，即ρsinθ-3ρcosθ）=0
根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得：y-3x=0．
曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$  （t為參數(shù)），消去參數(shù)t，得：y²-x²=4
聯(lián)立方程組：$\left\{\begin{array}{l}{y-3x=0}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
即A：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$）
由兩點(diǎn)間的距離公式得：|AB|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程化為普通方程的求法和兩點(diǎn)間的距離公式的計算．屬于基礎(chǔ)題．