Question

17．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c且B=2A，則$\frac{c}{b-a}$的取值范圍是（　�。�

• A． （0，3）
• B． （1，2）
• C． （2，3）
• D． （1，3）

Answer 1

分析 先由正弦定理把所求化為$\frac{sinC}{sinB-sinA}$，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得2cosA+1，進(jìn)而B=2A和三角形的內(nèi)角和求得A的范圍，進(jìn)而根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得其取值范圍．

解答 解：由正弦定理可知$\frac{c}{b-a}$=$\frac{sinC}{sinB-sinA}$=$\frac{sin（B+A）}{sinB-sinA}$=$\frac{sin3A}{sin2A-sinA}$=$\frac{2sin\frac{3A}{2}cos\frac{3A}{2}}{2cos\frac{3A}{2}sin\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{3A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$=$\frac{sin\frac{A}{2}cosA+2co{s}^{2}\frac{A}{2}sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A}{2}}$=2cosA+1，
∵A+B+C=180°，B=2A，
∴3A+C=180°，A=60°-$\frac{C}{3}$＜60°
∴0＜A＜60°
∴$\frac{1}{2}$＜cosA＜1，
則2＜2cosA+1＜3．
故$\frac{c}{b-a}$的取值范圍是：（1，2）．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題的思路就是通過把邊的問題轉(zhuǎn)化成角的問題，然后利用三角函數(shù)的基本性質(zhì)來解決問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．