Question

已知向量

a

=（cosx+sinx，sinx），

b

=（cosx-sinx，2cosx），設(shè)f（x）=

a

•

b

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值及最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式可得f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)，利用正弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)性即可得出；
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，可得(2x+

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

．
∴f（x）=cos²x-sin²x+2sinxcosx
=cos2x+sin2x
=

2

sin(2x+

π

4

)，
∴最小正周期T=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

(k∈Z)，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）當(dāng)x∈[-

π

4

，

π

4

]時(shí)，(2x+

π

4

)∈[-

π

4

，

3π

4

]，
故當(dāng)2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時(shí)，f（x）有最大值

2

，
當(dāng)2x+

π

4

=-

π

4

，即x=-

π

4

時(shí)，f（x）有最小值-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了數(shù)量積運(yùn)算、倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的周期公式、單調(diào)性，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于中檔題．