13.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前項(xiàng)和,已知a1≠0,2an-a1=S1•Sn,則數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和為(n-1)×2n+1.n∈N+

分析 利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an;利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可得出.

解答 解:∵a1≠0,2an-a1=S1•Sn,n∈N*
令n=1得a1=1,令n=2得a2=2.
當(dāng)n≥2時(shí),由2an-1=Sn,2an-1-1=Sn-1,兩式相減得an=2an-1,
 又a1≠0,則an≠0,
 于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列,
∴通項(xiàng)公式an=2n-1;
∴nan=n•2n-1
Tn=1+2×2+3×22+…+n×2n-1,
2Tn=2+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n,
∴-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n×2n=(1-n)×2n-1,
∴Tn=(n-1)×2n+1.n∈N+
故答案是:(n-1)×2n+1.n∈N+

點(diǎn)評 本題考查了“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、遞推式的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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