Question

設(shè)有數(shù)列{a_n}，a₁=

5

6

，若以a₁，a₂，a₃，…，a_n中相鄰兩項(xiàng)為系數(shù)的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0都有相同的根α、β，且滿足3α-αβ+3β=1．
（1）求證：{a_n-

1

2

}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）求數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和S₅．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由韋達(dá)定理得

αn+βn= an an-1 αnβn= 1 an-1

，代入3（α_n+β_n）-α_nβ_n=1，能證明數(shù)列{a_n-

1

2

}是等比數(shù)列．
（2）由a_n-

1

2

=（a₁-

1

2

）•（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ，能求出a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）利用分組求和法能求出數(shù)列{a_n}的前5項(xiàng)和S₅．

解答： （1）證明：∵二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0有實(shí)數(shù)根α_n、β_n，
∴

αn+βn= an an-1 αnβn= 1 an-1

，
代入3（α_n+β_n）-α_nβ_n=1，
得a_n=

1

3

a_n-1+

1

3

，
∴

an- 1 2

an-1- 1 2

=

1 3 an-1+ 1 3 - 1 2

an-1- 1 2

=

1

3

（定值），
∴數(shù)列{a_n-

1

2

}是等比數(shù)列．
（2）解：a₁=

5

6

，a₁-

1

2

=

1

3

，又?jǐn)?shù)列{a_n-

1

2

}是公比為

1

3

的等比數(shù)列，
∴a_n-

1

2

=（a₁-

1

2

）•（

1

3

）^n-1=（

1

3

）ⁿ，
∴a_n=（

1

3

）ⁿ+

1

2

．
（3）解：S₅=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅
=（

1

3

+

1

2

）+[（

1

3

）²+

1

2

]+[（

1

3

）³+

1

2

]+[（

1

3

）⁴+

1

2

]+[（

1

3

）⁵+

1

2

]
=

1

3

+（

1

3

）²+（

1

3

）³+（

1

3

）⁴+（

1

3

）⁵+

5

2

=

1 3 (1- 1 35 )

1- 1 3

+

5

2

=

35-1

2•35

+

5

2

=

1457

486

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．