Question

5．在數(shù)列{a_n}中，設f（n）=a_n，且f（n）滿足f（n+1）-2f（n）=2ⁿ（n∈N^*），且a₁=1．
（1）設b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，證明數(shù)列{b_n}為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{3a_n-1}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得{b_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）先化簡3a_n-1=3n•2^n-1-1，利用利用錯位相減求和法求解．

解答 解：（1）證明：由已知得${a_{n+1}}=2{a_n}+{2^n}$，
得${b_{n+1}}=\frac{{{a_{n+1}}}}{2^n}=\frac{{2{a_n}+{2^n}}}{2^n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}+1={b_n}+1$，
∴b_n+1-b_n=1，
又a₁=1，
∴b₁=1，
∴{b_n}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（2）：由（Ⅰ）知，${b_n}=\frac{a_n}{{{2^{n-1}}}}=n$，
∴${a_n}=n•{2^{n-1}}$，$3{a_n}-1=3n•{2^{n-1}}-1$．  
∴${S_n}=3×1×{2^0}+3×2×{2^1}+3×3×{2^2}+…+3（n-1）×{2^{n-2}}+3n×{2^{n-1}}-n$，
兩邊乘以2，得$2{S_n}=3×1×{2^1}+3×2×{2^2}+…+3（n-1）×{2^{n-1}}+3n×{2^n}-2n$，
兩式相減得$-{S_n}=3×（1+{2^1}+{2^2}+…+{2^{n-1}}-n×{2^n}）+n$=3×（2ⁿ-1-n×2ⁿ）-n=3（1-n）2ⁿ-3+n，
∴${S_n}=3（n-1）×{2^n}+3-n$．

點評 本題考查數(shù)列的通項與求和，解題時要注意錯位相減法的合理運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．