Question

14．如圖，四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB=2DC=2$\sqrt{3}$，且△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，G為△PAD的重心，AC∩BD=F
（1）求證：GF∥平面PCD；
（2）求三棱錐G-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AG并延長(zhǎng)與PD交于H，連接CH，推導(dǎo)出△DFC∽△AFB，從而AF：FC=AB：DC=2：1，由G是△PAD的重心，得AG：GH=2：1，進(jìn)而GF∥HC，由此能證明GF∥平面PCD．
（2）三棱錐G-PCD的體積V_G-PCD=$\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{p-ECD}}$=$\frac{1}{3}$V_P-ACD．由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（1）連接AG并延長(zhǎng)與PD交于H，連接CH
∵AB∥CD，∴△DFC∽△AFB，
∴AF：FC=AB：DC=2：1
∵G是△PAD的重心，∴AG：GH=2：1
∴GF∥HC
∵HC?平面PCD，GF?平面PCD，∴GF∥平面PCD；
（2）∵△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PE⊥平面ABCD，
∵AB=2DC=2$\sqrt{3}$，∴PE=3，
∵底面ABCD為梯形，AB∥CD，
∴${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×\sqrt{3}×sin120°$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∴${V}_{P-ACD}=\frac{1}{3}×3×\frac{3\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
三棱錐G-PCD的體積V_G-PCD=$\frac{2}{3}{V_{E-PCD}}=\frac{2}{3}{V_{p-ECD}}$=$\frac{1}{3}$${V_{P-ACD}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查幾何體的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間思維能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．