Question

10．已知函數(shù)f（x）=-x²+2ax+3a²．
（1）當(dāng)a=-1時，求不等式f（x）＜-5的解集；
（2）若f（x）＞0對任意實數(shù)x∈[-1，1]都成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求a=-1時一元二次不等式f（x）＜-5的解集即可；
（2）【方法一】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，
不等式恒成立化為f（x）_min＞0，x∈[-1，1]，即$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1-2a+{3a}^{2}＞0①}\\{f（1）=-1+2a+{3a}^{2}＞0②}\end{array}\right.$，
求出解集即可．
【方法二】解不等式f（x）＞0，討論①a＞0和②a＜0時，
寫出不等式的解集A，根據(jù)A?[-1，1]求出a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=-x²+2ax+3a²，
當(dāng)a=-1時，不等式f（x）＜-5化為-x²-2x+3＜-5，
即x²+2x-8＞0；
由x²+2x-8=0的兩根為x=-4和x=2，
且對應(yīng)二次函數(shù)開口向上，
所以解不等式得x＜-4或x＞2，
所以不等式f（x）＜-5的解集是{x|x＜-4或x＞2}；
（2）【方法一】若f（x）＞0對任意實數(shù)x∈[-1，1]都成立，
即f（x）_min＞0，x∈[-1，1]；
由二次函數(shù)的性質(zhì)知，關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=-x²+2ax+3a²
在[-1，1]上的最小值為f（x）_min=min{f（-1），f（1）}，
所以$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=-1-2a+{3a}^{2}＞0①}\\{f（1）=-1+2a+{3a}^{2}＞0②}\end{array}\right.$，
解①得a＜-$\frac{1}{3}$，或a＞1；
解②得a＜-1，或a＞$\frac{1}{3}$；
所以實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．
【方法二】f（x）＞0即-x²+2ax+3a²＞0，整理得x²-2ax-3a²＜0，
關(guān)于x的一元二次方程x²+2ax-3a²=0的兩根為x=-a或x=3a；
①當(dāng)a＞0時，有-a≤3a，故不等式x²-2ax-3a²＜0的解集為{x|-a＜x＜3a}，
此時由{x|-a＜x＜3a}?[-1，1]得$\left\{\begin{array}{l}{-a＜-1}\\{3a＞1}\end{array}\right.$，解得a＞1；
②當(dāng)a＜0時，有-a＞3a，故不等式x²-2ax-3a²＜0的解集為{x|3a＜x＜-a}，
此時由{x|3a＜x＜-a}?[-1，1]得$\left\{\begin{array}{l}{3a＜-1}\\{-a＞1}\end{array}\right.$，解得a＜-1；
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次不等式的解法，函數(shù)的最值等知識，也考查了推理論證與運算求解能力，其中（1）是容易題，（2）是中檔題．