Question

10．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=3ⁿ+1，則數(shù)列{a_n²}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{{9}^{n}+23}{2}$．

Answer 1

分析 由數(shù)列的遞推式：n=1時(shí)，a₁=S₁；n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，可得a_n²，再由等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求和．

解答 解：n=1時(shí)，a₁=S₁=3+1=4；
n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=3ⁿ+1-3^n-1-1=2•3^n-1，
上式對(duì)n=1不成立．
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，n=1}\\{2•{3}^{n-1}，n≥2，n∈N*}\end{array}\right.$，
當(dāng)n=1時(shí)，a_n²=16，
n≥2時(shí)，a_n²=4•3^2n-2，
前n項(xiàng)和T_n=16+36+36×9+…+4•3^2n-2
=16+$\frac{36（1-{9}^{n-1}）}{1-9}$=$\frac{{9}^{n}+23}{2}$．
故答案為：$\frac{{9}^{n}+23}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推式的運(yùn)用：求通項(xiàng)公式，考查等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．