Question

【題目】如圖，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD為菱形，A1A＝AB＝2，∠ABC＝，E，F分別是BC，A1C的中點(diǎn)．

（1）求異面直線(xiàn)EF，AD所成角的余弦值；

（2）點(diǎn)M在線(xiàn)段A1D上， ．若CM∥平面AEF，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

【答案】(1) ．（2）．

【解析】試題分析：（1）由四棱柱，證得，進(jìn)而得到，以為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解所成角的余弦值；

（2）設(shè)，由點(diǎn)在線(xiàn)段上，得到，得出向量則坐標(biāo)表示，再求得平面的一個(gè)法向量，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，即可得到的值。

試題解析：

因?yàn)樗睦庵?/span>ABCD－A1B1C1D1為直四棱柱，所以A1A⊥平面ABCD．

又AE平面ABCD，AD平面ABCD，所以A1A⊥AE，A1A⊥AD．

在菱形ABCD中∠ABC＝，則△ABC是等邊三角形．

因?yàn)?/span>E是BC中點(diǎn)，所以BC⊥AE．

因?yàn)?/span>BC∥AD，所以AE⊥AD．

以{，， }為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系．

則A(0，0，0)，C(，1，0)，D(0，2，0)，

A1(0，0，2)，E(，0，0)，F(，，1)．

（1）＝(0，2，0)，＝(－，，1)，所以·＝1．

從而cos＜，＞＝＝．

故異面直線(xiàn)EF，AD所成角的余弦值為．

（2）設(shè)M(x，y，z)，由于點(diǎn)M在線(xiàn)段A1D上，且＝λ，

則＝λ，即(x，y，z－2)＝λ(0，2，－2)．

則M(0，2λ，2－2λ)，＝(－，2λ－1，2－2λ)．

設(shè)平面AEF的法向量為n＝(x0，y0，z0)．

因?yàn)?/span>＝(，0，0)，＝(，，1)，

由n·＝0，n·＝0，得x0＝0， y0＋z0＝0．

取y0＝2，則z0＝－1，

則平面AEF的一個(gè)法向量為n＝(0，2，－1)．

由于CM∥平面AEF，則n·＝0，即2(2λ－1)－(2－2λ)＝0，解得λ＝．