Question

16．如圖，三棱錐P-ABC中，D，E分別是BC，AC的中點．PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{6}$．
（1）求證：平面ABC⊥平面PED；
（2）求AC與平面PBC所成的角；
（3）求平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)AB，BC，AC邊的長度容易得到BC⊥AB，E，D都是中點，從而DE∥AB，這便得到BC⊥DE，而由PB=PC，D為BC邊中點，從而便得到BC⊥PD，從而由線面垂直的判定定理即得BC⊥平面PED；
（2）取PD中點F，連接EF，CF，則∠ECF是直線AC和平面PBC所成角，由此能求出直線AC與平面PBC所成角．
（3）以D為原點，分別以DC，DE為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值．

解答 證明：（1）∵PB=PC=AB=2，AC=4，BC=2$\sqrt{3}$，PA=$\sqrt{6}$，
∴AB²+BC²=AC²；
∴BC⊥AB；
D，E分別是BC，AC中點；
∴DE∥AB；
∴BC⊥DE；
又PB=PC，D是BC中點；
∴BC⊥PD，DE∩PD=D；
∴BC⊥平面PED；
解：（2）PA=$\sqrt{6}$，PC=2，AC=4，
∴由余弦定理cos∠PCA=$\frac{7}{8}$，
在△PCE中，PC=2，CE=2，
∴由余弦定理得PE=1，DE=1，∴PD=1；
∴△PDE為等邊三角形；
∴如圖，取PD中點F，連接EF，CF，則：EF⊥PD；
又BC⊥平面PED，EF?平面PED；
∴BC⊥EF，即EF⊥BC，PD∩BC=D；
∴EF⊥平面PBC；
∴∠ECF是直線AC和平面PBC所成角；
EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CE=2；
∴sin∠ECF=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴直線AC與平面PBC所成角為arcsin$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（3）以D為原點，分別以DC，DE為x，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
B（-$\sqrt{3}$，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），E（0，1，0），A（-$\sqrt{3}$，2，0），
設(shè)P（0，y，z），則由PC=2，PA=$\sqrt{6}$，
得$\left\{\begin{array}{l}{3+{y}^{2}+{z}^{2}=4}\\{3+（y-2）^{2}+{z}^{2}=6}\end{array}\right.$，解得y=$\frac{1}{2}$，z=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴P（0，$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
設(shè)平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），
∵$\overrightarrow{BA}$=（0，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（$\sqrt{3}，\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{y}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{x}_{1}+\frac{1}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\end{array}\right.$，取x₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，0，-2），
平面PED的法向量為$\overrightarrow{m}$=（1，0，0），
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞
=$\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴平面PED與平面PAB所成銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點評 本題考查平面與平面垂直的證明，考查線面角的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意線面垂直的判定定理，以及余弦定理，線面垂直的性質(zhì)，線面角的概念及找法的合理運用．