如圖所示,直三棱柱ABC—A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M、N分別是A1B1、AB的中點(diǎn).

(1)求證:C1M⊥平面A1ABB1;
(2)求證:A1B⊥AM;
(3)求證:平面AMC1∥平面NB1C;
(4)求A1B與B1C所成的角.
證明略,(4)A1B與B1C所成的角為90°
(1) 方法一 由直棱柱性質(zhì)可得AA1⊥平面A1B1C1,

又∵C1M平面A1B1C1,∴AA1⊥MC1.
又∵C1A1=C1B1,M為A1B1中點(diǎn),∴C1M⊥A1B1.
又A1B1∩A1A=A1,∴C1M⊥平面AA1B1B.
方法二  由直棱柱性質(zhì)得:平面AA1B1B⊥平面A1B1C1,交線為A1B1,又∵C1A1=C1B1,M為A1B1的中點(diǎn),
∴C1M⊥A1B1于M.
由面面垂直的性質(zhì)定理可得C1M⊥平面AA1B1B.
(2) 由(1)知C1M⊥平面A1ABB1,
∴C1A在側(cè)面AA1B1B上的射影為MA.
∵AC1⊥A1B,MC1⊥A1B,MC1∩AC1=C1,
∴A1B⊥平面AMC1,又AM平面AMC1,∴A1B⊥AM.
(3)方法一  由棱柱性質(zhì)知四邊形AA1B1B是矩形,
M、N分別是A1B1、AB的中點(diǎn),
∴ANB1M.
∴四邊形AMB1N是平行四邊形.
∴AM∥B1N.
連接MN,在矩形AA1B1B中有
A1B1AB.
∴MB1 BN,∴四邊形BB1MN是平行四邊形.
∴BB1  MN.又由BB1 CC1,知MN CC1.
∴四邊形MNCC1是平行四邊形.∴C1MCN.
又C1M∩AM=M,CN∩NB1=N,
∴平面AMC1∥平面NB1C.
方法二 由(1)知C1M⊥平面AA1B1B,
A1B平面AA1B1B,∴C1M⊥A1B.
又∵A1B⊥AC1,而AC1∩C1M=C1
∴A1B⊥平面AMC1.
同理可證,A1B⊥平面B1NC.
∴平面AMC1∥平面B1NC.
(4) 方法一 由(2)知A1B⊥AM,
又由已知A1B⊥AC1,AM∩AC1=A,
∴A1B⊥平面AMC1.
又∵平面AMC1∥平面NB1C,
∴A1B⊥平面NB1C.
又B1C平面NB1C,∴A1B⊥B1C.
∴A1B與B1C所成的角為90°.
方法二 由直棱柱的性質(zhì)有平面ABC⊥平面AA1B1B,交線為AB,又CA=CB=C1A1,N為AB的中點(diǎn),
∴CN⊥AB.
∴CN⊥平面AA1B1B.
∴CB1在側(cè)面AA1B1B上的射影是NB1.
又由(2)知A1B⊥AM,由(3)知B1N∥AM,
∴A1B⊥B1N,CN⊥A1B,
∴A1B⊥平面B1NC,又B1C平面B1NC,∴A1B⊥B1C.
∴A1B與B1C所成的角為90°.
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