【題目】如圖,在四邊形中,,以為折痕把折起,使點到達點的位置,且.
(1)證明:平面;
(2)若為的中點,二面角等于60°,求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明;
(2)由題意知,,取的中點,連接,易知兩兩垂直,以為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè),平面的一個法向量為,求出向量,則向量所成角的余弦值的絕對值即為所求.
(1)證明:因為,
所以平面,
又因為平面,所以.
又因為,
所以平面.
(2)因為,
所以是二面角的平面角,即,
在中,,
取的中點,連接,因為,
所以,由(1)知,平面,為的中位線,
所以,即兩兩垂直,
以為原點建立如圖所示的坐標(biāo)系,設(shè),則
,
,設(shè)平面的一個法向量為,
則由得令,得,
所以,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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【題目】已知函數(shù)(,是自然對數(shù)的底數(shù)),是函數(shù)的一個極值點.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè),若,不等式恒成立,求的最大值.
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【題目】下列說法正確的是( )
A.,“”是“”的必要不充分條件
B.“為真命題”是“為真命題”的必要不充分條件
C.命題“”的否定是:“使得”
D.命題p:“”,則是真命題
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,點在軸上,點在軸上,且,,當(dāng)點在軸上運動時,動點的軌跡為曲線.過軸上一點的直線交曲線于,兩點.
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)證明:存在唯一的一點,使得為常數(shù),并確定點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】年是打贏藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)三年行動計劃的決勝之年,近年來,在各地各部門共同努力下,藍(lán)天保衛(wèi)戰(zhàn)各項任務(wù)措施穩(wěn)步推進,取得了積極成效,某學(xué)生隨機收集了甲城市近兩年上半年中各天的空氣量指數(shù),得到頻數(shù)分布表如下:
年上半年中天的頻數(shù)分布表
的分組 | |||||
天數(shù) |
年上半年中天的頻數(shù)分布表
的分組 | |||||
天數(shù) |
(1)估計年上半年甲城市空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)的比例;
(2)求年上半年甲城市的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表);(精確到)
(3)用所學(xué)的統(tǒng)計知識,比較年上半年與年上半年甲城市的空氣質(zhì)量情況.
附:
的分組 | ||||||
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 嚴(yán)重污染 |
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個定點A1(,0),A2(,0),再取兩個動點N1(0,m),N2(0,n),且mn=2.
(1)求直線A1N1與A2N2交點M的軌跡C的方程;
(2)過R(3,0)的直線與軌跡C交于P,Q,過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點N,F為軌跡C的右焦點,若(λ>1),求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一個籠子里關(guān)著只貓,其中有只白貓,只黑貓.把籠門打開一個小口,使得每次只能鉆出只貓.貓爭先恐后地往外鉆.如果只貓都鉆出了籠子,以表示只白貓被只黑貓所隔成的段數(shù).例如,在出籠順序為“□■□□□□■□□■”中,則.
(1)求三只黑貓挨在一起出籠的概率;
(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】過去五年,我國的扶貧工作進入了“精準(zhǔn)扶貧”階段.目前“精準(zhǔn)扶貧”覆蓋了全部貧困人口,東部幫西部,全國一盤棋的扶貧格局逐漸形成.到2020年底全國830個貧困縣都將脫貧摘帽,最后4335萬貧困人口將全部脫貧,這將超過全球其他國家過去30年脫貧人口總和.2020年是我國打贏脫貧攻堅戰(zhàn)收官之年,越是到關(guān)鍵時刻,更應(yīng)該強調(diào)“精準(zhǔn)”.為落實“精準(zhǔn)扶貧”政策,某扶貧小組,為一“對點幫扶”農(nóng)戶引種了一種新的經(jīng)濟農(nóng)作物,并指導(dǎo)該農(nóng)戶于2020年初開始種植.已知該經(jīng)濟農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元,根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn),該經(jīng)濟農(nóng)作物的市場價格和畝產(chǎn)量均具有隨機性,且兩者互不影響,其具體情況如下表:
該經(jīng)濟農(nóng)作物畝產(chǎn)量(kg) | 該經(jīng)濟農(nóng)作物市場價格(元/kg) | |||||
概率 | 概率 |
(1)設(shè)2020年該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝的純收入為X元,求X的分布列;
(2)若該農(nóng)戶從2020年開始,連續(xù)三年種植該經(jīng)濟農(nóng)作物,假設(shè)三年內(nèi)各方面條件基本不變,求這三年中該農(nóng)戶種植該經(jīng)濟農(nóng)作物一畝至少有兩年的純收入不少于16000元的概率;
(3)2020年全國脫貧標(biāo)準(zhǔn)約為人均純收入4000元.假設(shè)該農(nóng)戶是一個四口之家,且該農(nóng)戶在2020年的家庭所有支出與其他收入正好相抵,能否憑這一畝經(jīng)濟農(nóng)作物的純收入,預(yù)測該農(nóng)戶在2020年底可以脫貧?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,為正方形,且平面平面,點為棱的中點.
(1)在棱上是否存在一點,使得平面?并說明理由;
(2)若,求直線與平面所成角的正弦值.
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