Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy上取兩個(gè)定點(diǎn)A1（，0），A2（，0），再取兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2.

（1）求直線A1N1與A2N2交點(diǎn)M的軌跡C的方程；

（2）過R（3，0）的直線與軌跡C交于P，Q，過P作PN⊥x軸且與軌跡C交于另一點(diǎn)N，F為軌跡C的右焦點(diǎn)，若（λ＞1），求證：.

Answer 1

【答案】（1）1（x≠±）；（2）證明見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意先寫出兩直線的方程，再根據(jù)條件化簡(jiǎn)即可求得答案；

（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)l：x＝ty+3，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由韋達(dá)定理得y1+y2且y1y2，根據(jù)題意得 x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，再代入即可證明結(jié)論．

（1）解：依題意知直線A1N1的方程為：y（x）…①；

直線A2N2的方程為：y（x）…②

設(shè)Q（x，y）是直線A1N1與A2N2交點(diǎn)，①、②相乘，得y2（x2﹣6）

由mn＝2整理得：1

∵N1、N2不與原點(diǎn)重合，可得點(diǎn)A1，A2不在軌跡M上，

∴軌跡C的方程為1（x≠±）；

（2）證明：設(shè)l：x＝ty+3，代入橢圓方程消去x，得（3+t2）y2+6ty+3＝0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x1，﹣y1），可得y1+y2且y1y2，

，可得（x1﹣3，y1）＝λ（x2﹣3，y2），∴x1﹣3＝λ（x2﹣3），y1＝λy2，

證明，只要證明（2﹣x1，y1）＝λ（x2﹣2，y2），∴2﹣x1＝λ（x2﹣2），

只要證明，只要證明2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，

由y1+y2且y1y2，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，

∴．