【題目】已知,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸上,且,,當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.過(guò)軸上一點(diǎn)的直線交曲線于,兩點(diǎn).
(1)求曲線的軌跡方程;
(2)證明:存在唯一的一點(diǎn),使得為常數(shù),并確定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1) (2)證明見(jiàn)解析;.
【解析】
(1)根據(jù)題意,畫(huà)出幾何圖形,設(shè),由幾何關(guān)系可知,結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的關(guān)系,化簡(jiǎn)即可求得曲線的軌跡方程;
(2)由點(diǎn)在軸上,可設(shè),設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程為,聯(lián)立拋物線方程,并由兩點(diǎn)間距離公式表示出,并代入中化簡(jiǎn)即可求得常數(shù)的值,即可確定點(diǎn)的坐標(biāo).
(1)根據(jù)題意可知,,點(diǎn)在軸上,點(diǎn)在軸上,且,,畫(huà)出幾何關(guān)系如下圖所示:
設(shè),為中點(diǎn),
因?yàn)?/span>在軸上,所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,
由等腰三角形三線合一可知,
即,展開(kāi)化簡(jiǎn)可得,
所以曲線的軌跡方程為.
(2)證明:點(diǎn)為軸上一點(diǎn),設(shè),
則過(guò)點(diǎn)的直線方程為,交拋物線于,兩點(diǎn).
則,化簡(jiǎn)變形可得,
所以,
由兩點(diǎn)間距離公式可得,
,
所以
將代入化簡(jiǎn)可得
,
所以當(dāng)時(shí)為常數(shù),且,
此時(shí).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列說(shuō)法正確的是( )
A.命題“若,則”的否命題為:“若,則”
B.命題“存在,使得”的否定是:“對(duì)任意,均有”
C.命題“角的終邊在第一象限角,則是銳角”的逆否命題為真命題
D.已知是上的可導(dǎo)函數(shù),則“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)等于2正方形中,點(diǎn)Q是中點(diǎn),點(diǎn)M,N分別在線段上移動(dòng)(M不與A,B重合,N不與C,D重合),且,沿著將四邊形折起,使得二面角為直二面角,則三棱錐體積的最大值為________;當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),其外接球的表面積為________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且,,.
(1)求和的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和,求;
(3)若數(shù)列的前項(xiàng)積為,求.
(4)數(shù)列滿足,,其中,,求.
(5)解決數(shù)列問(wèn)題時(shí),經(jīng)常需要先研究陌生的通項(xiàng)公式,只有先把通項(xiàng)公式研究明白,然后盡可能轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題,由此使問(wèn)題得到解決.通過(guò)對(duì)上面(2)(3)(4)問(wèn)題的解決,你認(rèn)為研究陌生數(shù)列的通項(xiàng)問(wèn)題有哪些常用方法,要求介紹兩個(gè).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知四棱錐中,面面,底面為矩形,且,,,O為的中點(diǎn),點(diǎn)E在上,且.
(1)證明:;
(2)在上是否存在一點(diǎn)F,使面,若存在,試確定點(diǎn)F的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形中,,以為折痕把折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置,且.
(1)證明:平面;
(2)若為的中點(diǎn),二面角等于60°,求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)點(diǎn)且與直線相切.
(1)求圓心的軌跡的方程;
(2)過(guò)的直線與交于,兩點(diǎn),分別過(guò),做的垂線,垂足為,,線段的中點(diǎn)為.
①求證:;
②記四邊形,的面積分別為,,若,求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙、丙三位同學(xué)在一項(xiàng)集訓(xùn)中的40次測(cè)試分?jǐn)?shù)都在[50,100]內(nèi),將他們的測(cè)試分?jǐn)?shù)分別繪制成頻率分布直方圖,如圖所示,記甲、乙、丙的分?jǐn)?shù)標(biāo)準(zhǔn)差分別為s1,s2,s3,則它們的大小關(guān)系為( )
A.s1s2s3B.s1s3s2
C.s3s1s2D.s3s2s1
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