Question

【題目】已知，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.過(guò)軸上一點(diǎn)的直線交曲線于，兩點(diǎn).

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）證明：存在唯一的一點(diǎn)，使得為常數(shù)，并確定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1） （2）證明見(jiàn)解析；.

【解析】

（1）根據(jù)題意，畫(huà)出幾何圖形，設(shè)，由幾何關(guān)系可知，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得的關(guān)系，化簡(jiǎn)即可求得曲線的軌跡方程；

（2）由點(diǎn)在軸上，可設(shè)，設(shè)出過(guò)點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立拋物線方程，并由兩點(diǎn)間距離公式表示出，并代入中化簡(jiǎn)即可求得常數(shù)的值，即可確定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）根據(jù)題意可知，，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上，且，，畫(huà)出幾何關(guān)系如下圖所示：

設(shè)，為中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>在軸上，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

由等腰三角形三線合一可知，

即，展開(kāi)化簡(jiǎn)可得，

所以曲線的軌跡方程為.

（2）證明：點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，設(shè)，

則過(guò)點(diǎn)的直線方程為，交拋物線于，兩點(diǎn).

則，化簡(jiǎn)變形可得，

所以，

由兩點(diǎn)間距離公式可得，

，

所以

將代入化簡(jiǎn)可得

，

所以當(dāng)時(shí)為常數(shù)，且，

此時(shí).