Question

已知直線l經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)．
（1）若|AF|=4，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)直線l的斜率為k，當(dāng)線段AB的長等于5時，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦半徑公式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）將直線的方程給出來，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長公式求解即可．

解答： 解：由y²=4x得焦點(diǎn)F（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．
（1）設(shè)A（x₁，y₁），所以|AF|=x₁+1=4，所以x₁=3，代入y²=4x得y₁=±2

3

．
所以A（3，±2

3

）．
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），代入y²=4x整理得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
再設(shè)B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

2k2+4

k2

．
所以|AB|=x₁+x₂+2=5，所以x₁+x₂=

2k2+4

k2

=3．
k²=4．所以k=±2．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線的定義及其幾何性質(zhì)，以及直線與拋物線的位置關(guān)系．直線與拋物線的位置關(guān)系問題，一般是將直線方程代入拋物線方程消元得到關(guān)于x的一元二次方程，然后借助于韋達(dá)定理解決后續(xù)問題．