Question

5．如圖，已知拋物線y=x²，動弦AB的長為2，求AB中點縱坐標的最小值．

Answer 1

分析 F為拋物線的焦點．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+$\frac{1}{，4}$，|BF|=y₃+$\frac{1}{，4}$．又M是線段AB的中點，利用梯形的中位線定理可得y₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₃）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|-$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$（|AB|-$\frac{1}{2}$），即可求得AB中點縱坐標的最小值．

解答 解：設A、M、B三點的縱坐標分別為y₁、y₂、y₃，如圖，
A、M、B三點在拋物線準線上的射影分別為A′、M′、B′．
F為拋物線的焦點．連接AA′，MM′，BB′，AF，BF．
拋物線y=x²，焦點F（0，$\frac{1}{，4}$），
由拋物線的定義可知：|AF|=|AA′|=y₁+$\frac{p}{2}$=y₁+$\frac{1}{，4}$，|BF|=y₃+$\frac{1}{，4}$．
∴y₁=|AF|-$\frac{1}{，4}$，y₃=|BF|-$\frac{1}{，4}$．
又M是線段AB的中點，
∴y₂=$\frac{1}{2}$（y₁+y₃）=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|-$\frac{1}{2}$）≥$\frac{1}{2}$（|AB|-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}$（2-$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，
當且僅當AB過焦點F時，等號成立．
即當定長為a的弦AB過焦點F時，
弦AB的中點M與x軸的距離最小，最小值為$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查拋物線的定義，考查梯形的中位線定理及其三角形的三邊的大小關系，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．