Question

14．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：
（1）函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱；
（2）對?x∈R，f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）成立
（3）當x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$]時，f（x）=log₂（-3x+1），則f（2011）=（　　）

• A． -5
• B． -4
• C． -3
• D． -2

Answer 1

分析 根據(jù)（1）得函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，由（2）得到函數(shù)是周期為3的周期函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和周期性的關系進行轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：∵函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于點（1，0）對稱，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
由f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）得f（$\frac{3}{4}$-x）=f（$\frac{3}{4}$+x）=-f（x-$\frac{3}{4}$），
則f（$\frac{3}{2}$+x）=-f（x），即f（x+3）=-f（$\frac{3}{2}$）=f（x），
則函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
則f（2011）=f（671×3+1）=f（1）=-f（-1），
∵當x∈（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$]時，f（x）=log₂（-3x+1），
∴f（-1）=log₂（3+1）=log₂4=2，
則f（2011）=f（1）=-f（-1）=-2，
故選：D

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)條件分別判斷函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關鍵．