精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
19．已知x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，若2x+y≥m恒成立，則實數m的取值范圍是（-∞，8]，當m取到最大值時x=2．

分析 由x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，可得2x+y=（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$，利用基本不等式的性質即可得出最小值．由2x+y≥m恒成立，可得m≤（2x+y）min．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=1，
∴2x+y=（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{2}{y}）$=4+$\frac{y}{x}$+$\frac{4x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{y}{x}•\frac{4x}{y}}$=8，當且僅當y=2x=4時取等號．
∵2x+y≥m恒成立，
∴m≤（2x+y）min．
∴m≤8，當m取到最大值時x=2．
故答案分別為：（-∞，8]；2．

點評 本題考查了基本不等式的性質、“乘1法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

9．已知函數f（x）滿足：①f（x）=2f（x+2），x∈R；②f（x）=lnx+ax，x∈（0，2）；③f（x）在（-4，-2）內能取得最大值-4．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）設函數g（x）=$\frac{1}{3}$bx3-bx，若對任意的x1∈（1，2）總存在x2∈（1，2）使得f（x1）=g（x2），求實數b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：填空題

10．x≥0，y＞0，x+y≤2，則$\frac{4}{x+2y}$+$\frac{1}{2x+y}$最小值$\frac{3}{2}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，3），$\overrightarrow$=（2，x-5），若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow$，則x=（　�。�
A．-2B．-3C．2D．3

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

14．求適合下列條件的標準方程：
（1）焦點在x軸上，與橢圓$\frac{x^2}{4}$+$\frac{y^2}{3}$=1具有相同的離心率且過點（2，-$\sqrt{3}$）的橢圓的標準方程；
（2）焦點在x軸上，頂點間的距離為6，漸近線方程為y=±$\frac{1}{3}$x的雙曲線的標準方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：填空題

4．復數z=$\frac{2+i}{2-i}$的虛部為$\frac{4}{5}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：填空題

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$，1），$\overrightarrow$=（m，1）．若向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，則實數m=-$\sqrt{3}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：填空題

8．數列$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{2^2}$，$\frac{1}{2^3}$，$\frac{1}{2^3}$，$\frac{1}{2^3}$，$\frac{1}{2^4}$，$\frac{1}{2^4}$，$\frac{1}{2^4}$，$\frac{1}{2^4}$，$\frac{1}{2^5}$，…，則該數列的第28項為$\frac{1}{128}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

9．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{3}$，|$\overrightarrow$|=2，|$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$|=$\sqrt{7}$．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$；
（Ⅱ）若向量λ$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$與向量2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$垂直，求實數λ的值．

查看答案和解析>>

同步練習冊答案