Question

17．在正三角形ABC的底邊BC上取中點(diǎn)M，在與底邊BC相鄰的兩條邊BA和CA上分別取點(diǎn)P、Q，若線段PQ對(duì)M的張角∠PMQ為銳角，則稱點(diǎn)P、Q親密．若點(diǎn)P、Q在BA、CA上的位置隨機(jī)均勻分布，則P、Q親密的概率稱為正三角形的親密度．則正三角形的親密度為$\frac{6-3ln3}{4}$．

Answer 1

分析 設(shè)AB=BC=CA=2，設(shè)BP=x，0≤x≤2，過M作PM的垂線，交AC于R，當(dāng)Q落在線段AR內(nèi)部及A點(diǎn)上時(shí)，P與Q是親密的，記AR的長度為y=f（x），由PM²+MR²=RP²及余弦定理得y=$\frac{3x}{1+x}$，由此利用定積分能求出正三角形的親密度．

解答 解：設(shè)AB=BC=CA=2，設(shè)BP=x，0≤x≤2，
過M作PM的垂線，交AC于R，當(dāng)Q落在線段AR內(nèi)部及A點(diǎn)上時(shí)，P與Q是親密的，
記AR的長度為y=f（x），
由PM²+MR²=RP²及余弦定理得：
（x²-x+1）+[（2-y）²+（2-y）+1]=（2-x）²-（2-x）y+y²，
整理，得：y=$\frac{3x}{1+x}$，
∴正三角形的親密度為：
$\frac{1}{4}{∫}_{0}^{2}\frac{3x}{1+x}dx$=$\frac{3}{4}$${∫}_{0}^{2}\frac{x}{1+x}dx$=$\frac{3}{4}$[${∫}_{0}^{2}（1-\frac{1}{1+x}）dx$]=$\frac{3}{4}$[x-ln（x+1）]${|}_{0}^{2}$=$\frac{6-3ln3}{4}$．
故答案為：$\frac{6-3ln3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正三角形的親密度的求法，涉及到正三角形性質(zhì)、函數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查創(chuàng)新意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)，是中檔題．