Question

13．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB=2，BC=2$\sqrt{2}$，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．
（1）證明：PC⊥平面BEF；
（2）求平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，向量$\overrightarrow{PC}$，$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{EF}$，通過計(jì)算$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BF}$=-2+4-2=0，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{EF}$=2+0-2=0，推出$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{EF}$，然后證明PC⊥平面BEF．
（2）由（1）得到平面BEF的一個(gè)法向量，求出平面BAP的一個(gè)法向量，設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ，利用空間向量的數(shù)量積求解即可．

解答 （1）證明：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

∵AP=AB=2，BC=AD=2$\sqrt{2}$，四邊形ABCD是矩形，
∴A，B，C，D，P的坐標(biāo)為A（0，0，0），B（2，0，0），
C（2，2$\sqrt{2}$，0），D（0，2$\sqrt{2}$，0），P（0，0，2）．
又E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)，∴E（0，$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)（1，$\sqrt{2}$，1）．…（2分）
∴$\overrightarrow{PC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），$\overrightarrow{BF}$=（-1，$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{EF}$=（1，0，1）．
∴$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{BF}$=-2+4-2=0，$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{EF}$=2+0-2=0．…（4分）
∴$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{BF}$，$\overrightarrow{PC}$⊥$\overrightarrow{EF}$
∴PC⊥BF，PC⊥EF．又BF∩EF=F，
∴PC⊥平面BEF．…（6分）
（2）解：由（1）知平面BEF的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_1}$=$\overrightarrow{PC}$=（2，2$\sqrt{2}$，-2），…（9分）
平面BAP的一個(gè)法向量$\overrightarrow{n_2}$=$\overrightarrow{AD}$=（0，2$\sqrt{2}$，0），∴$\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}=8$．
設(shè)平面BEF與平面BAP的夾角為θ，
則cosθ=|cos$＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$|=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{8}{4×2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴平面BEF與平面BAP所成的銳二面角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．