Question

8．已知函數(shù)y=f（x）是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x）+x．
（1）求f（1）的值；
（2）求函數(shù)y=f（x）的表達(dá)式，并直接寫出其單調(diào)區(qū)間（不需要證明）；
（3）若f（lga）+2＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（1）即f（-1）的值即可；
（2）令x＞0，得到-x＜0，根據(jù)函數(shù)的奇偶性求出f（x）的解析式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）問題轉(zhuǎn)化為f（lga）＜-2，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（1）=f（-1）=-2；
（2）令x＞0，則-x＜0，
則f（-x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）-x=f（x），
故x＞0時(shí)，f（x）=${log}_{\frac{1}{2}}$（1+x）-x，
故f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{log}_{\frac{1}{2}}（1+x）-x，x＞0}\\{{log}_{\frac{1}{2}}（1-x）+x，x≤0}\end{array}\right.$；
故f（x）在（-∞，0]遞增，在（0，+∞）遞減；
（3）若f（lga）+2＜0，即f（lga）＜-2，
lga＞0時(shí)，f（lga）＜f（1），則lga＞1，
lga＜0時(shí)，f（lga）＜f（-1），則lga＜-1，
故lga＞1或lga＜-1，
解得：a＞10或0＜a＜$\frac{1}{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，是一道中檔題．