Question

3．已知拋物線C：y²=4x．點P是其準線與x軸的交點，過點P的直線L與拋物線C交于A，B兩點．
（1）當線段AB的中點在直線x=7上，求直線L的方程；
（2）設F為拋物線C的焦點，當A為線段PB的中點時，求△FAB的面積．

Answer 1

分析 設直線L的方程為：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
（1）∵線段AB的中點在直線x=7上，∴
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}=16-16{k}^{2}}\\{{x}_{x}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}=14}\end{array}\right.$⇒k
（2）當A為線段PB的中點時，PB=2PA⇒y₂=2y₁⇒$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}=\frac{4{x}_{1}}{4{x}_{2}}=4$，

解答 解：設直線L的方程為：y=k（x+1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$得k²x²+（2k²-4）x+k²=0．
（1）∵線段AB的中點在直線x=7上，∴
$\left\{\begin{array}{l}{△=（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}=16-16{k}^{2}}\\{{x}_{x}+{x}_{2}=\frac{4-2{k}^{2}}{{k}^{2}}=14}\end{array}\right.$⇒k=±$\frac{1}{2}$，
∴直線L的方程：y=±$\frac{1}{2}$（x+1）
（2）當A為線段PB的中點時，PB=2PA⇒y₂=2y₁⇒$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{{{y}_{1}}^{2}}=\frac{4{x}_{1}}{4{x}_{2}}=4$，

點評 本題考查了直線與拋物線的位置關系，屬于中檔題．