【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=3,且an+1﹣3an=3n,(n∈N*),數(shù)列{bn}滿足bn=3﹣nan.
(1)求證:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列;
(2)設,求滿足不等式的所有正整數(shù)n的值.
【答案】(1)見解析;(2)2,3,4
【解析】試題分析:(1)根據(jù)題干條件將表達式變形為:3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n,即得,從而證得式子是等差數(shù)列;(2)根據(jù)第一問的結(jié)論得到數(shù)列的通項,進而求和,解不等式即可。
解析:
(1)證明:由bn=3﹣nan得an=3nbn,則an+1=3n+1bn+1.
代入an+1﹣3an=3n中,得3n+1bn+1﹣3n+1bn=3n,即得。
所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列.
(2)解:因為數(shù)列{bn}是首項為b1=3﹣1a1=1,公差為等差數(shù)列,
則則an=3nbn=(n+2)×3n﹣1.從而有。
故
則,由 得.
即3<3n<127,得1<n≤4.
故滿足不等式的所有正整數(shù)n的值為2,3,4.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,向高為H的水瓶A,B,C,D同時以等速注水,注滿為止;
(1)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖中的a,則水瓶的形狀是________;
(2)若水量ν與水深h的函數(shù)圖像是下圖中的b,則水瓶的形狀是________;
(3)若水深h與注水時間t的函數(shù)圖象是下圖中的c,則水瓶的形狀是________;
(4)若注水時間t與水深h的函數(shù)圖象是下圖中的d,則水瓶的形狀是________。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分別是線段AB、AD、AA1的中點,又P、Q分別在線段A1B1、A1D1上,且A1P=A1Q=x(0<x<1).設平面MEF∩平面MPQ
=l,現(xiàn)有下列結(jié)論:
①l∥平面ABCD;
②l⊥AC;
③直線l與平面BCC1B1不垂直;
④當x變化時,l不是定直線.
其中不成立的結(jié)論是________.(寫出所有不成立結(jié)論的序號)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓: 的離心率為,上、下頂點分別為、,點在橢圓上,且異于點、,直線、與直線: 分別交于點、,且面積的最大值為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)求線段的長的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】為對考生的月考成績進行分析,某地區(qū)隨機抽查了名考生的成績,根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了如下的樣本頻率分布直方圖.
(1)求成績在的頻率;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖算出樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù);
(3)為了分析成績與班級、學校等方面的關(guān)系,必須按成績再從這人中用分層抽樣方法抽取出人作出進一步分析,則成績在的這段應抽多少人?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l:y=x+b (b>0),拋物線C:y2=2px(p>0),已知點P(2,2)在拋物線C上,且拋物線C上的點到直線l的距離的最小值為.
(1)求直線l及拋物線C的方程;
(2)過點Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點P)與拋物線C交于A,B兩點,直線AB與直線l相交于點M,記直線PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3.問:是否存在實數(shù)λ,使得k1+k2=λk3?若存在,試求出λ的值;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設數(shù)列滿足:①;②所有項;③ .
設集合,將集合中的元素的最大值記為.換句話說, 是
數(shù)列中滿足不等式的所有項的項數(shù)的最大值.我們稱數(shù)列為數(shù)列的
伴隨數(shù)列.例如,數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3.
(1)若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3,請寫出數(shù)列;
(2)設,求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和;
(3)若數(shù)列的前項和(其中常數(shù)),試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項和.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系xOy中,直線l經(jīng)過點P(2,0),其傾斜角為,在以原點O為極點,x軸非負半軸為極軸的極坐標系中(取相同的長度單位),曲線C的極坐標方程為.
(Ⅰ)若直線l與曲線C有公共點,求傾斜角的取值范圍;
(Ⅱ)設M(x,y)為曲線C上任意一點,求的取值范圍.
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