【題目】已知函數(shù),設(shè).
(Ⅰ)求的極小值;
(Ⅱ)若在上恒成立,求的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)極小值為;(Ⅱ).
【解析】
(Ⅰ)求出導(dǎo)函數(shù)得到,通過(guò)判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的極值即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得,通過(guò)時(shí)和時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解函數(shù)的最值,推出結(jié)果即可.
(Ⅰ),,
由題意可知,所以,
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)在處取得極小值,為;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
當(dāng)時(shí),,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,
即當(dāng)時(shí),在恒成立;
當(dāng)時(shí),,
又,
又由于在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以在上一定存在使得,
當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,
所以在存在,使得,
所以當(dāng)時(shí),在上不恒成立
綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn),且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為4.
(1)若動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線,求曲線的方程;
(2)在曲線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn),使過(guò)點(diǎn)的直線與曲線的交點(diǎn)滿足為定值?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)及定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離比到直線的距離小,為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與曲線交于、兩點(diǎn),求的面積;
(2)設(shè)為曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn),是否存在垂直于軸的直線,使得被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值?若存在,求出的方程和定值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),,.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線為l : x+y-1=0,求a,b的值;
(3)若恒成立,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,如下圖就是在平面直角坐標(biāo)系的“心形曲線”,又名RC心形線.如果以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,其RC心形線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求RC心形線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知與直線(為參數(shù)),若直線與RC心形線交于兩點(diǎn),,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系.xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為( 為參數(shù)),以原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ.
(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知曲線C2的極坐標(biāo)方程為,點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn),且A,B均異于原點(diǎn)O,且|AB|=4,求α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了預(yù)防新型冠狀病毒的傳染,人員之間需要保持一米以上的安全距離.某公司會(huì)議室共有四行四列座椅,并且相鄰兩個(gè)座椅之間的距離超過(guò)一米,為了保證更加安全,公司規(guī)定在此會(huì)議室開會(huì)時(shí),每一行、每一列均不能有連續(xù)三人就座.例如下圖中第一列所示情況不滿足條件(其中“√”表示就座人員).根據(jù)該公司要求,該會(huì)議室最多可容納的就座人數(shù)為( )
A.9B.10C.11D.12
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線()與交于兩點(diǎn),為的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求直線斜率的最大值;
(2)若點(diǎn)在直線上,且為等邊三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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