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如圖所示的幾何體中,四邊形ABCD為菱形,AMND是矩形,平面AMND⊥平面ABCD,∠DAB=60°,AD=2,AM=1.
(Ⅰ)已知在AB邊上存在點E,使AN∥平面MEC,請說出點E的位置并加以證明;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角B-CM-E的余弦值.
考點:二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定
專題:空間位置關系與距離,空間角
分析:(Ⅰ)當E為AB的中點時,AN∥平面MEC.連結BN,設CM∩BN=F,連結EF,由已知得四邊形BCNM為平行四邊形,由此能證明AN∥平面MEC.
(Ⅱ)以OA,OB為x,y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,利用向量法能求出二面角B-CM-E的余弦值.
解答: 解:(Ⅰ)當E為AB的中點時,AN∥平面MEC.
證明如下:
連結BN,設CM∩BN=F,連結EF,
∵四邊形ABCD為菱形,AMND是矩形,∴MN∥AD∥BC,MN=AD=BC,
∴四邊形BCNM為平行四邊形,∴F為BN的中點,
又E為AB中點,∴AN∥EF,
∵EF?平面MEC,AN?平面MEC,
∴AN∥平面MEC.
(Ⅱ)∵四邊形ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴△ABD為等邊三角形,取AD中點O,連結BO,則BO⊥AD,
∵平面AMND⊥平面ABCD,交線為AD,∴BO⊥平面AMND,
以OA,OB為x,y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,
在菱形ABCD與矩形AMND中,AD=2,AM=1,
∴A(1,0,0),M(1,0,1),C(-2,
3
,0),
由(Ⅰ)知E是AB中點,E(
1
2
,
3
2
,0),
MC
=(-3,
3
,-1),
BC
=(-2,0,0),
EC
=(-
5
2
,
3
2
,0),
設平面BCM的一個法向量為
n
=(x,y,z),
n
MC
=-3x+
3
y-z=0
n
BC
=-2x=0
,取y=1,得
n
=(0,1,
3
),
設平面ECM的一個法向量
m
=(a,b,c),
m
MC
=-3a+
3
b-c=0
m
EC
=-
5
2
a+
3
2
b=0
,
取a=
3
,得
m
=(
3
,5,2
3
),
∴cos<
n
m
>=
n
m
|
n
|•|
m
|
=
5+6
2
3+25+12
=
11
10
40
,
設二面角B-CM-E的平面角為θ,則cosθ=
11
10
40
,
∴二面角B-CM-E的余弦值為
11
10
40
點評:本題考查使直線與平面平行的點的位置的確定與證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要注意向量法的合理運用.
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3
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π
4
,
3
2
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π
4
]上的最大值.

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3
2
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A、1
B、2
C、2
2
D、3

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已知3
a
-2
b
=(-2,0,4),
c
=(-2,1,2),|
b
|=4,θ為向量
b
c
的夾角.
(1)當
a
?
c
=2時,求θ的值; 
(2)設
a
?
c
=m,m∈R,m為何值時,θ的值最大?此時
b
的坐標為多少?

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ex+b
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