Question

已知3

a

-2

b

=（-2，0，4），

c

=（-2，1，2），|

b

|=4，θ為向量

b

與

c

的夾角．
（1）當

a

?

c

=2時，求θ的值； 
（2）設

a

?

c

=m，m∈R，m為何值時，θ的值最大？此時

b

的坐標為多少？

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：空間向量及應用

分析：（1）根據題意，求出

b

與

c

的夾角的余弦值cosθ的值，利用反三角函數求出θ的值； 
（2）當

a

?

c

=m時，求出cosθ的表達式，根據cosθ的取值范圍，求出m的值，再求對應的向量

b

即可．

解答： 解：（1）∵3

a

-2

b

=（-2，0，4），

c

=（-2，1，2），|

b

|=4，

a

?

c

=2，θ為向量

b

與

c

的夾角，
∴（3

a

-2

b

）•

c

=3

a

•

c

-2

b

•

c

=3×2-2

b

•

c

=-2×（-2）+0×1+4×2=12，
∴

b

•

c

=-3，
∴4×

(-2)2+12+22

cosθ=-3，
解得cosθ=-

1

4

；
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=π-arccos

1

4

； 
（2）當

a

?

c

=m時，由（1）知，
（3

a

-2

b

）•

c

=3

a

•

c

-2

b

•

c

=3m-2

b

•

c

=12，
∴

b

•

c

=

3

2

m-6，
∴4×3cosθ=

3

2

m-6，
∴cosθ=

1

8

m-

1

2

；
又∵θ∈[0，π]，
令

1

8

m-

1

2

=-1，得：
當m=-4時，θ=π最大，
此時設

b

=（-2x，x，2x），
∴（-2x）²+x²+（2x）²=9x²=4，
∴x=±

2

3

；
∵θ=π，
∴

b

=（

4

3

，-

2

3

，-

4

3

）．

點評：本題考查了空間向量的應用問題，也考查了利用向量的數量積求夾角的問題和計算能力，是中檔題目．