Question

【題目】已知圓過圓與直線的交點，且圓上任意一點關于直線的對稱點仍在圓上．

（1）求圓的標準方程；

（2）若圓與軸正半軸的交點為，直線與圓交于兩點，且點是的垂線（垂心是三角形三條高線的交點），求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）因為圓過圓與直線的交點，所以設圓的方程為，圓上任意一點關于直線的對稱點仍在圓上，所以直線過圓的圓心，由條件知圓心，故，解得的值，即可求得圓的標準方程；

（2）由題知，，所以直線的斜率為1，設直線的方程為，與圓方程聯立，由韋達定理，再結合，求得的值即可．

試題解析：（1）設圓的方程為，由條件知圓心在直線上，故，解得．

于是所求圓的標準方程為．

（2）由題知，，所以直線的斜率為1，設直線的方程為，

，由，得，

故，，

又

代入得，解得或

當時，直線過點，不合題意；

當時，直線，經檢驗證直線與圓相交，

故所求直線的方程為．