Question

5．已知|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow$|=1，$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為45°，求使向量$（2\overrightarrow a-λ\overrightarrow b）$與$（λ\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$的夾角是銳角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)題意便知$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）•（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）＞0$，從而根據(jù)條件進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算便可得出λ²-7λ+6＜0，再求出$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）$與$（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$同向時(shí)λ的取值，這樣便可得出λ的取值范圍．

解答 解：$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）$與$（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$夾角為銳角時(shí)，$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）•（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$=$2λ{(lán)\overrightarrow{a}}^{2}-（6+{λ}^{2}）\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3λ{(lán)\overrightarrow}^{2}$=4λ-（6+λ²）+3λ＞0；
解得1＜λ＜6；
當(dāng)$（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）$與$（λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow）$同向時(shí)，設(shè)$λ\overrightarrow{a}-3\overrightarrow=m（2\overrightarrow{a}-λ\overrightarrow）$，且m＞0，則：
$\left\{\begin{array}{l}{λ=2m}\\{3=λm}\end{array}\right.$；
解得$m=\frac{\sqrt{6}}{2}$，$λ=\sqrt{6}$；
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍為（1，$\sqrt{6}$）∪（$\sqrt{6}$，6）．

點(diǎn)評(píng) 考查數(shù)量積的運(yùn)算及其計(jì)算公式，以及向量夾角的概念，共線向量基本定理，平面向量基本定理，解一元二次不等式．