Question

12．若函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-1，0]
• B． [0，$\frac{25}{3}$]
• C． [$\frac{25}{3}$，+∞）
• D． [9，+∞）

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是非負值，又因?qū)Ш瘮?shù)為遞增函數(shù)，只需最小值非負即可．

解答 解：f（x）=x²+ax+$\frac{1}{x}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴f'（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上是非負值，
∵f'（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$在[$\frac{1}{3}$，+∞）上遞增，
∴f'（$\frac{1}{3}$）=$\frac{2}{3}$-9+a≥0，
∴a≥$\frac{25}{3}$．
故選：C．

點評 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．