Question

7．某商場銷售一種“艾麗莎”品牌服裝，銷售經(jīng)理根據(jù)銷售記錄發(fā)現(xiàn)，該服裝在過去的一個(gè)月內(nèi)（以30天計(jì)）每件的銷售價(jià)格P（x）（百元）與時(shí)間x（天）的函數(shù)關(guān)系近似滿足P（x）=1+$\frac{k}{x}$（k為正的常數(shù)），日銷售量Q（x）（件）與時(shí)間x（天）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

x（天）	10	20	25	30
Q（x）（件）	110	120	125	120

已知第2哦天的日銷售量為126百元．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）給出以下三種函數(shù)模型：
①Q(mào)（x）=a•b^x；
②Q（x）=a•log_bx；
③Q（x）=a|x-25|+b．
請您根據(jù)如表中的數(shù)據(jù)，從中選擇你認(rèn)為最合適的一種函數(shù)來描述日銷售量Q（x）（件）與時(shí)間x（天）的變化關(guān)系，并求出該函數(shù)的解析式；
（Ⅲ）求該服裝的日銷收入f（x）（1≤x≤30，x∈N^*）（百元）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用f（20）=P（20）•Q（20），可求k的值；
（2）由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，日銷售量有增有減并不單調(diào)，故只能選③，從表中任意取兩組值代入可求得結(jié)論；
（3）求出函數(shù)f（x）的解析式，分段求最值，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）依題意有：f（20）=P（2）•Q（20），
即（1+$\frac{k}{20}$）×120=126，所以k=1． …（2分）
（2）由表中的數(shù)據(jù)知，當(dāng)時(shí)間變化時(shí)，日銷售量有增有減并不單調(diào)，
故只能選③Q（x）=a|x-25|+b．…（4分）
從表中任意取兩組值代入可求得：Q（x）=-|x-25|+125=125-|x-25|． …（6分）
（3）∵Q（x）=125-|x-25|=$\left\{\begin{array}{l}{100+x，（1≤x＜25）}\\{150-x，（25≤x≤30）}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{100}{x}+101，（1≤x＜25）}\\{\frac{150}{x}-x+149，（25≤x≤30）}\end{array}\right.$．…（8分）
①當(dāng)1≤x＜25時(shí)，x+$\frac{100}{x}$在[1，10]上是減函數(shù)，在[10，25）上是增函數(shù)，
所以，當(dāng)x=10時(shí)，f（x）_min=121（百元）． …（10分）
②當(dāng)25≤x≤30時(shí)，$\frac{150}{x}$-x為減函數(shù)，
所以，當(dāng)x=30時(shí)，f（x）_min=124（百元）． …（11分）
綜上所述：當(dāng)x=10時(shí)，f（x）_min=121（百元）．

點(diǎn)評 本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題，考查函數(shù)模型的建立，考查函數(shù)的最值，屬于中檔題．