Question

3．已知O是銳角△ABC的外接圓圓心，∠A=60°，$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=m•$\overrightarrow{OA}$，則m的值為（　�。�

• A． -$\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． -1
• D． 1

Answer 1

分析 作出圖形，取AB中點D，并連接OD，從而有OD⊥AB，而$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$，可設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，然后在$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m•\overrightarrow{OA}$的兩邊同時乘以$\overrightarrow{AB}$，進行數(shù)量積的運算便可得到$\frac{cosB}{sinC}•{c}^{2}+\frac{cosC}{sinB}•bccosA=-\frac{m}{2}•{c}^{2}$，由正弦定理即可得到$cosB+cosCcosA=-\frac{m}{2}•sinC$，從而解出$m=\frac{-2（cosB+cosCcosA）}{sinC}$，而cosB=-cos（A+C），這樣便可求出m=-2sinA，從而便得出m的值．

解答 解：如圖，取AB中點D，則$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}$，OD⊥AB；
∴$\overrightarrow{OD}•\overrightarrow{AB}=0$；
設△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c；
由$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m•\overrightarrow{OA}$得，$\frac{cosB}{sinC}•\overrightarrow{AB}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}=m（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}）$；
兩邊同乘以$\overrightarrow{AB}$得：$\frac{cosB}{sinC}•{\overrightarrow{AB}}^{2}+\frac{cosC}{sinB}•\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AB}$=$m（\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{DA}）•\overrightarrow{AB}$；
即$\frac{cosB}{sinC}•{c}^{2}+\frac{cosC}{sinB}•bccosA=-\frac{m}{2}•{c}^{2}$；
∴$\frac{cosB}{sinC}•c+\frac{cosC}{sinB}•bcosA=-\frac{m}{2}•c$；
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2r$，∴b=2rsinB，c=2rsinC，代入上式整理得：
$cosB+cosCcosA=-\frac{m}{2}•sinC$；
∴$m=\frac{-2（cosB+cosCcosA）}{sinC}$=$\frac{-2[-cos（A+C）+cosCcosA]}{sinC}$=-2sinA；
又∠A=60°；
∴$m=-2sin60°=-\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 考查向量加法的幾何意義，向量垂直的充要條件，以及數(shù)量積的計算公式，正弦定理，兩角和的余弦公式．