Question

18．以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），圓C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0．F為圓C上的任意一點．
（1）寫出圓C的參數(shù)方程；
（2）求△ABF的面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）圓C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標方程，利用cos²α+sin²α=1可得參數(shù)方程．
（2）A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），分別化為直角坐標：A（-2，0），B（0，2）．可得|AB|=2$\sqrt{2}$，直線AB的方程為：x-y+2=0．因此圓C上的點F到直線AB的距離取得最大值時，△ABF的面積取得最大值．

解答 解：（1）圓C的極坐標方程為ρ²-6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，化為直角坐標方程：x²+y²-6x+8y+21=0，
配方為：（x-3）²+（y+4）²=4，可得圓心C（3，-4），r=2．
可得參數(shù)方程為：$\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=-4+2sinα}\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（2）A（2，π），B（2，$\frac{π}{2}$），分別化為直角坐標：A（-2，0），B（0，2）．
可得|AB|=2$\sqrt{2}$，直線AB的方程為：$\frac{x}{-2}+\frac{y}{2}$=1，即x-y+2=0．
因此圓C上的點F到直線AB的距離取得最大值時，△ABF的面積取得最大值．
求出圓心C到直線AB的距離d=$\frac{|3-（-4）+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{9\sqrt{2}}{2}$．
∴△ABF的面積的最大值S=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×（\frac{9\sqrt{2}}{2}+2）$=9+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了極坐標與直角坐標方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．