Question

【題目】函數(shù)、，給定下列命題：（1）不等式的解集為；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（3）若函數(shù)有兩個極值點，則；（4）若時，總有恒成立，則1.其中正確命題的序號為_________.

Answer 1

【答案】（1）（4）

【解析】

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值點，結合恒成立問題求參，對選項進行逐一分析即可.

因為、，則，

令，可得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞增；

令，可得，故在該區(qū)間上單調(diào)遞減.

又當時，，且，

故的圖象如下所示：

（1）數(shù)形結合可知，的解集為，故（1）正確；

（2）由上面分析可知，（2）錯誤；

（3）若函數(shù)有兩個極值點，

即有兩個極值點，又，

要滿足題意，則需在有兩根，

也即在有兩根，也即直線與的圖象有兩個交點.

數(shù)形結合則，解得.

故要滿足題意，須得滿足，顯然（3）是錯誤的；

（4）若時，總有恒成立，

即恒成立，

構造函數(shù)，則對任意的恒成立，

故在單調(diào)遞增，則在恒成立，

也即在區(qū)間恒成立，則，

故（4）正確.

故正確的為（1）（4）.

故答案為：（1）（4）.