Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，
（1）求證：BC∥平面C₁B₁N；
（2）求證：BN⊥平面C₁B₁N；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

解：（1）證明：∵該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，∴BA，BC，BB₁兩兩互相垂直．
∵BC∥B₁C₁，B₁C₁?平面C₁B₁N，BC?平面C₁B₁N，
∴BC∥平面C₁B₁N…（4分）
（2）連BN，過N作NM⊥BB₁，垂足為M，
∵B₁C₁⊥平面ABB₁N，BN?平面ABB₁N，
∴B₁C₁⊥BN，…（5分）
由三視圖知，BC=4，AB=4，BM=AN=4，BA⊥AN，
∴BN==4，B₁N===4，…（6分）
∵BB₁=8²=64，B₁N²+BN²=32+32=64，
∴BN⊥B₁N，…（7分）
∵B₁C₁?平面B₁C₁N，B₁N?平面B₁C₁N，B₁N∩B₁C₁=B₁
∴BN⊥平面C₁B₁N …（9分）
（3）連接CN，
V_C-BCN=×BC•S_△ABN=×4××4×4=…（11分）
∴平面B₁C₁CB⊥ANB₁B=BB₁，NM⊥BB₁，NM?平面B₁C₁CB，
∴NM⊥平面B₁C₁CB，
V=×NM•S=×4×4×8=…（13分）
此幾何體的體積V=V_C-BCN+V=+=32；
V=V_C-BCN+V=+=…（14分）
分析：（1）利用幾何體的三視圖，判斷側(cè)面BCC₁B₁是矩形，利用直線與平面平行的判定定理證明BC∥平面C₁B₁N；
（2）該幾何體的正視圖為矩形，側(cè)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形，BA，BC，BB₁兩兩垂直．通過計算得出∠BNB₁ 為直角，從而有BN⊥B₁N，再根據(jù)線面垂直的判定，即可證明BN⊥平面C₁B₁N；
（3）連接CN，把幾何體分割成一個三棱錐和一個四棱錐，即可求解．
點評：本小題主要考查直線與平面的位置關系、平面與平面的位置關系、棱錐的體積等有關知識，考查空間想象能力和思維能力．